İhsan Fazlıoğlu: "Euclides Geometrisi 'Süreklilik Aksiyomu' Açısından Eleştirilebilir mi?"
Kutadgubilig Dergisi
1. Sayı |
1. XIX. yüzyılın sonu ile XX. yüzyıl boyunca genel olarak matematiğin özel olarak geometrinin temelleri konusunda matematik felsefesi bağlamında pek çok çalışma yapıldı.1 Bu tarihten önce, özellikle geometri, XIX. yüzyıl başlarında klasik yerini büyük oranda cebir ile analize bırakmıştı. Öyleki bir çok matematikçi geleneksel geometriyi modern cebirin bazı bölümlerinin basit bir yorumu olarak görüyordu. Ancak bahusus XIX. yüzyılın ikinci yarısından itibaren 'Öklit-dışı' (non-Euclidean) geometrilerin ortaya çıkması, daha önce Dedekind, Cantor gibi matematikçilerin matematik kavramlarla ilgili yürüttükleri çalışmalarla birleşince, merkezinde Kant felsefesinin, özellikle Kant'ın mekan idrâkinin bulunduğu klasik kabulleri sorgulamaya zorladı.
Yukarıda zikredilen dönemde vuku bulan çalışmalar yani 'matematiğin temeli/temelleri nedir' sorusu büyük oranda 'matematik doğrunun tanımı nedir' sorusuna bağlı olarak yürüdü; bu soruya ilişkin verilen cevaplar ise matematik nesnelerin mahiyetini sorgulayan 'matematik nesneler nedir? sorusunu merkeze aldı. Bu soruların yanında, matematik ile fizik biliminin ilişkisi, matematik yapıların fizik dünyayı temsil etmesinin anlamı ve değeri gibi pek çok sorun gündeme geldi. Peano, Russell, Whitehead, Hilbert, Frege, Poincaré, Klein, Tarski, Gödel, Brouwer vb. bir çok matematikçi-filozofun eğildiği bu sorular, esasen, Öklit-dışı geometrilerin ortaya çıkmasıyla sarsılan 'matematik bilginin güvenirliğini' yeniden sağlamak için cevaplandırılması elzem sorulardı. Muhtelif düşünürlerin bu sorulara kendi felsefî yönelimlerine bağlı olarak ürettiği cevaplar, modern ve çağdaş matematik felsefesinde, aynı zamanda, çeşitli '-izmler'in de türemesine neden oldu2. Bu -izmlerin içerisinde nispeten merkezî bir yer edinen ve modern matematik-geometri felsefe çalışmalarında belirleyici bir rol oynayan "Formalizm", takip ettiği 'aksiyomatik' yaklaşımla Peano ve Frege'nin aritmetiği saf mantıkî bir disiplin haline getirmelerine benzer şekilde geometriyi mekanın saf sezgisel idrakine dayanan bir bilim olmaktan kurtarmaya ve modern geometriyi formel aksiyomatik bir bilim olarak kurmaya çalıştı. 2. Bahsi geçen dönemlerde matematik felsefesi çalışmalarında ortaya çıkan muhtelif -izmlerin herbirisi matematik tarihini, bu çalışmanın konusu olması itibariyle geometri tarihini kendilerine has yöntemleri ve kavramları açısından değerlendirmeye tabi tuttu. Bu eleştirilerden aslan payını özellikle Euclides'in Elemanlar adlı eseri aldı3. Çünkü bu eser tarihte geometriyi mantıkî bir şekilde düzenleyen, bu açıdan da mantıkî/aklî organizasyonun en mükemmel örneklerinden birisi olarak kabul edilir. Bu yargı, eserin bütünü için değilse bile, geneli için doğrudur; ayrıca ikibinyıl süren tatbikî değeri bu aklî tutarlılığını gösterir. Eserin böyle bir özelliği hâiz olması, Aristoteles mantığı ile bu mantığa dayanarak üretilen geometrik sonuçların mekandaki temsilinin beraberce yürütülmesiyle son derece alakalıdır. Bu açıdan Elemanlar, geometrinin Batı Avrupa'da Lobachevski'nin yeni geometrisine kadarki mantıkî gelişmesini garanti altına alan bir program olmuştur4. Modern -izmler herşeyden önce bütün Yunan matematiğini 'bir tür geometri' olarak gördü. Bu yargı, Pythagorasçı 'aritmetika'yı temsil eden Nicomachos'un Aritmetiğe Giriş adlı eseri ile modern çalışmaların ortaya koyduğu gibi büyük oranda Sümer-Babil matematik geleneğinin bir devamcısı olan Diophantos'un Aritmetika isimli çalışması ve Archimedes'in sayısal analizleri haricinde doğrudur. Bir tür geometri olarak görülen Yunan matematik çalışmalarının ana eseri olan Elemanlar ise hemen hemen bütün -izmler açısından eleştiriye uğradı5. Bu eleştiricilerin başında ise Formalizm bulunur6. 3. Modern matematik felsefelerinin Euclides'in Elemanları'na yönelttiği eleştiriler şu şekilde özetlenebilir7: Ana kavramlara ait tanımlar açık değildir; hatta bazı tanımlar hiç bir anlam ifade etmez. Bir çok tanım daha sonra belirli bir mantıkî işleme tabi tutulmaz; örnek olarak teoremlerin ispatlarında kullanılmaz. Bu da bu tanımlar eserden/sistemden çıkartılınca hiç bir eksikliğin olmayacağını gösterir. Bu durum modern dönemde tanımlandığı şekliyle aksiyomatik sistemin 'tamamlanmışlık' özelliğine aykırıdır. Euclides'te hiç bir konum aksiyomu (Pasch aksiyomu) yoktur. Yani 'arasında olma', 'içinde olma', 'dışında olma' kavramları mevcut değildir. Bu kavramlar sezgisel kullanılmış ancak mantıkî olarak dikkate alınmamıştır. Euclides'in bazı aksiyomları ispata açıktır. Örnek olarak, dik açıların eşitliğini ele alan dördüncü aksiyom Hilbert tarafından Geometrinin Temelleri adlı eserinde hem de süreklilik aksiyomu kullanılmadan ispatlanmıştır. Euclides, teoremlerin mekandaki temsili olan şekil çiziminde gerekli dikkati göstermemiştir. Esaslı ve önemli bir eksiklik de Elemanlar'da hiç bir 'süreklilik aksiyomu'nun bulunmamasıdır. Bu eleştiriler içerisinde özellikle 'sürekililik aksiyomu' [f] ile bazı açılardan onunla alakalı olan 'konum aksiyomu' [c] Formalist okul tarafından öne çıkartılmıştır8. 4. Formalist okulun Euclides geometrisine yönelttiği eleştirileri daha iyi anlayabilmek için Hilbert'in aksiyomatik sisteminin, özellikle 'süreklilik aksiyomu'nun kısaca gözden geçirilmesi gerekir. David Hilbert'in 'Aksiyomatik Sistemi' beş öbek aksiyomdan oluşur9: Birinci öbek aksiyomlar: İlgi (ait olma) aksiyomları İkinci öbek aksiyomlar: Sıra aksiyomları Üçüncü öbek aksiyomlar: Eşlik aksiyomları Dördüncü öbek aksiyomlar: Paralellere dair aksiyomlar Beşinci öbek aksiyomlar: Süreklilik aksiyomları10 Bu aksiyomların üzerinde kurulacak bir sistemın yapısı ve anlamı üzerinde aşağıda kısaca durulacaktır. Ancak şimdilik belirtilmesi gereken husus, Formalizmin klasik geometriye yönelttiği eleştirilerin merkezinde yer alan beşinci öbek aksiyomların yani süreklilik aksiyomlarının bulunduğudur. Bu aksiyom özetle şu şekilde dile getirilebilir: 'Süreklilik aksiyomu: Bir doğrunun bütün noktaları iki sınıfa ayrılsa ve her sınıf nokta ihtiva etse, bir sınıfın bütün noktaları diğer sınıfın bütün noktalarının aynı tarafında olsa, her zaman doğruyu iki ışına ayıran bir nokta varolur; bu ışınlardan birisinin üzerinde sınıflardan birincisinin bütün noktaları, ötekisi üzerinde de ikinci sınıfın bütün noktaları bulunur; doğruyu iki ışına ayıran nokta ise ya birinci yahut ikinci sınıfa ait olur'11. Başka bir deyişle 'A1 noktaları A ve B arasında ise, o zaman A1, A2, A3, ... An noktaları varolur; öyle ki (i) k = 1, 2,..., n - 1 ile A0 = A için Ak , Ak - 1 ve Ak + 1 arasındadır. (ii) k = 1, 2,..., n - 1 için Ak Ak + 1 parçası A A1 parçasıyla aynı büyüklüktedir ve (iii) B noktası A ve An arasındadır'. 5. Süreklilik aksiyomu temel alınarak, Euclides'in Elemanlar'ının birinci kitabının birinci teoreminin 'boşluk içerdiği' hemen hemen standart bir örnek olarak verilir12. Buna göre; Teorem 1: Sonlu bir doğru üzerinde eşkenar bir üçgen çizmek. 'AB' sonlu doğru olsun; merkezi 'A' ve yarıçapı 'AB' olan 'BCD' dairesi ile merkezi 'B', yarıçapı 'BA' olan 'ACE' dairesi çizilir (postulat 3)13; dairelerin kesiştiği 'C' noktasını 'A' ve 'B' noktasına birleştirelim (postulat 1)14. Tanım 1515 ve aksiyom 1'den16 hareketle 'CA', 'AB' ve 'BC' doğrularının birbirine eşit, 'ABC' üçgenin de eşkenar olduğu (tanım 20)17 söylenebilir. Formalist okula göre iki dairenin ('A' ve 'B' merkez ve 'AB' yarıçaplı) 'C' arakesit noktasının varlığı, 'sezgiyle' kabul edilmiştir. Dolayısıyla süreklilik aksiyomunu sistemin içine dahil etmeden, bu iki dairenin kesişeceğini iddia etmek mümkün değildir. 'C'nin bulunduğu yerde dairelerden birisinde yahut her ikisinde bir boşluk varsayılabileceğinden, 'C', iki dairenin kesişme noktası olmayabilir/olamayabilir. 6. Başta Formalist okul olmak üzere muhtelif matematik felsefesi okullarının Euclides geometrisine yönelttiği eleştiriler çeşitli matematik felsefecileri tarafından cevaplandırılmaya çalışılmıştır. Bu nedenle özellikle XX. yüzyılda 'Öklitçi ve Öklid-dışı Geometrilerin Temelleri' başlıklı pek çok çalışma yapılmıştır18. Bu çalışmalar eleştirileri, esas itibariyle haklı bulmakla beraber, iki sistemin farklılığını öne çıkartarak cevaplandırmaya gayret eder. I. Mueller'in bu konudaki çalışması en dikkate değer çalışmalardan birisi olarak görülebilir. Bu nedenle onun cevabı temsil değeri yüksek olarak kabul edilip incelenebilir. Yapısalcı açıdan kaleme aldığı Philosophy of Mathematics and Deductice Structure in Euclid's Elements adlı eserinde Mueller'in ana tavrı 'iki sistemin yapısal farklılığı' fikri üzerinde kuruludur19. Buna göre: Hilbert'in sistemini oturttuğu tanımlara bakıldığında kabullerinin bizâtihi varış noktasını belirlediği görülür. Nitekim Hilbert eserine şöyle başlar: "I. Geometrinin Unsurları (Elements) ve Beş Öbek Aksiyom: Açıklama: Noktaların, doğru çizgilerin ve yüzeylerin kendi aralarında biribiriyle bazı 'ilişkilere' girdiğini düşünüyoruz ve bu ilişkileri 'bulunmaklık', 'arasındalık', 'uygunluk', 'paralellik' ve 'süreklilik' olarak gösteriyoruz. Kesin ve matematik gayeye uygunluk için bu ilişkilerin tam bir tasviri ise geometrinin aksiyomlarıyla yerine getirilebilir"20. Hilbert, bu aksiyomları insan sezgisinin yapısının tezâhürü olarak görür. Her ne kadar sezgi kavramının tanımı ve içeriği tartışılsa da sezginin tezâhürünün basit gerçeklikler olacağı, dile gelişlerinin de açıklık ve seçiklik göstermesi gerektiği düşünülebilir. Nitekim kendisi de matematik sorunların geometrik temsilini 'uzaya ait sezginin zihnî resimlerini temsil eden işâretler' olarak yorumlar. Gerçi tam bu noktada Hilbert'in 'sezgi' kavramı ile 'aksiyomatik' anlayışı nasıl beraber yürüttüğü sorusu sorulabilir. Bu sorunun cevabı açıktır: Hilbert'in çalışması sezginin rasyonalize edilmesi (aksiyomatikleştirilmesi) olarak görülebilir. Zaten onun çağı geometriyi büyük oranda 'sezgisel içeriğin tasviri' olarak anlıyordu. Nitekim yukarıda da Hilbert'in amacının Peano ve Frege'nin aritmetiği saf mantıkî bir disiplin haline getirmelerine benzer şekilde geometriyi mekanın 'saf sezgisel idrâkine' dayanan bir bilim olmaktan kurtarmak olduğuna işaret edilmişti. Amaç sezgisel içeriğin 'tasvirini' elden geldiğince aklîleştirmekti21. Euclides ise eserine, dolayısıyla sistemine, tanımlar (horoi), postulatlar (aitemata) ve genel kavramlar (aksiyomlar) (koinai ennoiai)22, vererek giriş yapar ve doğrudan konuya girer; akabinde de 48 önermenin (protaseis) ispatını verir. Belkide Yunan matematiğindeki bir kabule bağlı olarak problemler (problemata) ile teoremleri (theoremata) biribirinden ayırır. Problem'de şu yolu takip eder [I. kitap 1. problem]: Protasis [Sonlu bir doğru üzerinde eşkenar bir üçgen çizmek] _ Ekthesis ['AB' verilen sonlu doğru olsun] _ Diorismus [İstenilen 'AB' doğru çizgisi üzerinde eşkenar bir üçgen çizmektir] _ Kataskeu_ [Merkezi 'A' ve yarıçapı 'AB'yle 'BCD' dairesi tanımlansın; aynı şekilde merkezi 'B', yarıçapı 'BA'yle 'ACE' dairesi tanımlansın; dairelerin kesiştiği 'C' noktasından 'A' ve 'B' noktalarına 'CA', 'CB' doğruları çizilsin] _ Apodeixis [Şimdi 'A', 'CDB' dairesinin merkezi olduğundan 'AC', 'AB'ye eşittir. Aynı şekilde 'B', 'CAE'nin merkezi olduğundan 'BC', 'BA'ya eşittir. 'CA'nın 'AB'ye eşit olduğu ispatlandığından 'CA' ile 'CB' doğru çizgilerinden herbirisi 'AB'ye eşittir. Aynı şeye eşit olan şeyler biribirine de eşit olacağından 'CA' da 'CB'ye eşittir. Böylece 'CA', 'AB' ve 'BC' doğru çizgilerinden herbirisi biribirine eşittir.] _ Sumperasma [Böylece 'ABC' üçgeni eşkenardır ve verilen sonlu bir doğru parçası üzerinde çizilmiştir. Yapılması istenilen de budur.]. Teorem'de ise diorismos "Ben diyorum ki?" diye başlar; sumperasma, protasis'i tekrar eder ve sumperasma "İspatlanması istenilen budur" şeklinde biter. Dolayısıyla problem ile teori arasında çok büyük bir fark gözükmez. Mueller'e göre Yunanca apodeixis 'ispat' anlamına gelir; ancak modern bakış açısından diorismos hariç protasis'i takip eden bütün süreç 'ispat' olarak kabul edilmelidir. Hilbert, herhangi iki nokta arasındaki bir doğrunun varlığını, eserinin başında belirlediği noktalar, doğrular ve yüzeyler arasındaki ilişkilerin zorunlu bir sonucu olarak görür iken Euclides iki nokta verildiğinde, iki noktayı birleştiren bir doğru parçasının çizilmesi 'ihtimalinden' bahseder. Mueller'e göre iki sistem arasındaki 'cevherî' fark budur. Hilbert sisteminde geometrik aksiyomlar, noktalardan, doğrulardan ve yüzeylerden oluşan yapının varlığını belirler. Bu açıdan Hilbert sisteminde hiç bir nesne 'varlığa gelmez', yalnızca 'kurulur'; ayrıca bu nesne de varlığını aksiyomlardan devşirir. Euclides ise herşeyden önce ispata ihtiyaç duyan nesneler üretir ve kurgular. Bundan dolayı, mesela birinci kitabın birinci teorisinde olduğu gibi, varlığa getirilecek nesnenin ispatında iki daire, bir 'C' noktası, 'AC' ve 'BC' doğruları gibi unsurlara ihtiyaç duyar. Bu açıdan Elemanlar'ın altında yeralan ve yapının iç akışını sağlayan, noktalardan, doğrulardan ve yüzeylerden oluşan, Euclides'in önceden belirlemesi gereken bir 'sistemi' yoktur. Elemanlar'da geometrik nesnelere biribirinden bağımsız nesneler gibi davranılır; yeni, başka bir nesne varlığa getirilirken de önceki nesnelerle ilişkiye sokulur. Yunan geometrisinde bu şekildeki bir kuruluşa yapılan vurgu, Hilbert'in I.3 aksiyomunun ikinci kısmında bulunan "mutlak varlık" iddiası gibi bir iddianın yokluğuna bağlanabilir. Elemanlarda ise bir nesnenin varlığı daima inşâ yoluyla başka nesneden/nesnelerden devşirilir23. 7. Euclides geometrisine modern dönemde getirilen eleştirileri cevaplamaya çalışan matematik felsefecilerinin görüşleri pek çok noktada doğru olmakla beraber, kanaatimizce sorunun merkezî noktası 'nicelik' kavramının tanımında düğümlenmektedir. Bu açıdan Euclides geometrisinin, hatta matematiğinin dayandığı 'nicelik tasavvuru' ile Hilbert'in dolayısıyla Formalist okulun yaklaşımının dayandığı 'nicelik tasavvuru'nun doğru bir şekilde tahliledilmesi gerekir. Her iki matematikteki 'nicelik tasavvuru'nun 'yerinde' belirlenmesi iki farklı dönemin yalnızca matematik anlayışlarını değil aynı zamanda fizik bilimindeki temellendirmelerini, zaman ve mekan idrâklerini, hatta kosmoloji ile metafiziklerini anlamak için zorunludur24. Euclides geometrisinin dayandığı nicelik tasavvuru Aristoteles felsefe-bilim sistemince belirlenmiştir. Bu nedenle aşağıda öncelikle Aristoteles'in nicelik kavrayışı gözden geçirilecek akabinde de modern nicelik tanımıyla olan farkı gösterilecektir: Aristoteles 'nicelik' (poson) deyince iki şey anlar: Birincisi 'çokluk' (plethos) ki bu 'sayılabilir' (arithmeton) bir niceliktir. Aristoteles'teki sayılabilirlik de sayma sayıları ya da daha 'cesur' bir ifadeyle doğal sayılar kümesini içerir. Diğeri ise 'büyüklük' (megethos) ki bu da 'ölçülebilir' (metreton) bir niceliktir. Çokluk, 'bağımsız' parçalara bölünür ve her bir parça 'süreksiz'dir. Büyülük ise 'sınırsızca' parçalara bölünebilir; ancak her bir parçası 'sürekli'dir. Başka bir deyişle niceliğin parçaları/bölümleri arasında 'biribirine değen ortak bir sınır' varsa 'sürekli' nicelik; niceliğin parçaları/bölümleri arasında 'biribirine değen ortak bir sınır' yoksa 'süreksiz' niceliktir25. Öte yandan büyüklük belirli bir konuma (imtidâd, yayılım) da sahiptir. Aristoteles 'her bir sayı 'bir' sayesinde bilinir' ve 'bir' sayı olarak sayının ilk ilkesidir' der; bu açıdan biribirinden bağımsız şeyler olarak 'çokluk' saymanın temelinde yer alan bir durumdur. Büyüklükte ise 'sayma' yerini "ölçmeye" bırakır. Dendiği üzere bütün sürekli büyüklükler sonsuzca bölünebilirler. Ancak nasıl ki 'bir' sayısı birliklerden kurulu çokluğun ilkesi ise ölçülebilirliğin ilkesi de bir türlü 'birliklilik' ve 'bölünmezlik'tir. Öyleyse büyüklükte düşünülmesi gereken 'mutlak manada' (haplos) değil bilkuvve bölünebilirliktir. Öte bir deyişle Aristoteles'in doğrusu 'bilkuvve' (dunameis) sonsuzca bölünürken 'bilfiil' (energeiai) 'bir noktada' durur. Böylece bir doğru parçası daha alt-doğru parçalarından teşekkül eder; ancak bu doğru parçaları da bilkuvve sonsuzca bölünür. Neticede Aristoteles için önemli olan noktalardan mürekkep olmayan doğrunun bizatihi kendisidir26. Dikkat edilirse Aristoteles'in 'sayı' kavramının doğal sayılarla sınırlı (n>1) olduğu görülür. Bu açıdan 'çokluk' doğal sayıların bir 'toplamı'dır. Açıktır ki 'rasyonel' ve 'irrasyonel' sayılar bu tasavvurda mevcut değildir. 'Birlik' ise Yunan felsefi düşüncesinin yapısı gereği bölünemez. Bu tavır Yunan matematiğindeki 'kesir' kavramının varlığını tehlikeye sokmuştur. Yine bu nedenledir ki Yunan matematiği 'irrasyonel' kavramını geometrik büyüklükle oran-orantı teorisi altında incelemiştir. Kısaca Yunalılar 'arithmos' ile 'megethos'u biribirinin karşısına koyduklarından, örnek olarak Euclides bütün bir matematiğini 'megethos' terimleriyle dile getirmiş 'arithmos' bu dile getirişte hiç bir yer edinememiştir27. Batı Avrupa'da XVI. yüzyılın sonu - XVII. başlarında filizlenip Descartes'le bir 'yöntem' halini alan 'analitik geometri', Leibniz ve Newton elinde dünyaya gelen 'sonsuz küçükler hesabı' ile XIX. yüzyılda kümeler teorisinin gelişmesi neticesinde doğrunun 'nokta-küme' olarak idraki Aristotelesçi 'çokluk ile büyüklük' arasındaki uçurumu gidermiştir28. Yeni yaklaşımda 'doğru parçası' nokta-kümelerinden oluşur ve bu noktalar 'sıfır'a karşılık gibi gelir. Ancak bu anlayışta bizatihi önemli olan noktaların kendileri değil noktaların 'ilişkiler'idir. Başka bir deyişle doğruya vücud veren noktaların ilişkileri ile bu ilişkilerin nitelikleridir. Bu temelden hareket eden Cantor, 'n-boyutlu uzay'da sürekliliğin aritmetik analizini yaptı29; Dedekind de süreklilik aksiyomuna son şeklini vererek 'her büyüklüğün belirli bir limit değerine kadar sürekli olarak arttığını' iddia ettti30. Benzer şekilde Cantor, Dedekind'in yaklaşımını (süreklilik anlayışını) küme kavramı çerçevesinde geliştirdi31. Kısaca söylendikte Yunan ile yeni anlayış arasındaki en büyük fark, modern matematiğin sürekli nicelik olan büyüklüğün nokta kümelerinden oluştuğunu söylemesinden kaynaklanıyor ki bu duruma 'sürekli niceliğin aritmetikleştirilmesi' adını verebiliriz32. İşte tam da bu nedenden dolayı yani sürekli nicelik 'süreksizleştirildiği' için modern goemetri 'süreklilik aksiyomu'na muhtaçtır. 8. Nicelik tasavvurundaki bu farklılık ne gibi bir doğa idrâkiyle ilişkilidir? Bu noktanın açıklığa kavuşması her iki yaklaşım açısından önem arzeder. Aristoteles'e göre sürekli nicelik doğru, yüzey ile cisim (üç boyutu oluşturan büyüklükler) ve mekân ile zamandır; dolayısıyla geometri sürekli niceliğe dayanan bir bilimdir. Ancak Physics'de temellendirildiği üzere deneyimlerimiz bize fizik dünyadaki 'süreklilik'in büyüklük (yahut boyut) kavramıyla ilişkili olduğunu gösterdiğinden büyüklüğün, geometrik anlamı yanında, fizik (yanî maddî) bir anlamı da bulunmaktadır. İşte bu noktada Aristoteles felsefesi bağlamında şu çıkarımlar yapılabilir: Geometri biliminin konusu megethos'tur. Megethos'un varlığı aynı zamanda fizik dünyaya bağlı olduğundan bağımlı bir ontolojik statüsü vardır. Sureti megethos'la belirlenen fizik dünya'nın bu sureti akılla maddesinden soyutlanır. Fizik dünya da yayılımında sınırlı ve sonludur; dolayısıyla bir büyüklüktür (megethos). Aristoteles'in, doğa bilimini büyüklük (megethos), hareket veya süreç (kinesis) ve zaman (chronos) üzerinde kurar. Doğadaki bütün yapılar da bilkuvve (dunameis) ve bilfiil (energeiai) arasında bir süreklilik (sunecheia) gösterir. Bu tür bir süreklilik de bilkuvve sonsuz bölünebilirliktir.33 Burada sorulması gereken temel soru, tanımlanan bu sürekliliğin nereden kaynaklandığıdır. Açıktır ki bu sorunun cevabı, doğanın dolayısıyla bütün bir evrenin 'organik' diğer bir deyişle 'canlı' idrak edilmesinde bulunur. Nitekim 'holon', Yunanca'da hem 'bütün', hem 'organik' hem de 'evren' anlamına gelir34. Aristoteles'in arithmos'u sonsuz (dolayısıyla zihnî) kabul edip megethos'u sonlu görmesi bu açıdan ilginçtir. Bunun nedeni Yunan düşüncesinde, ama özellikle Aristoteles düşüncesinde megethus'un varlığının fizik dünyaya bağlı olmasından kaynaklanır. Bu durum Yunan düşüncesinde doğa ile matematiğin sanılandan çok daha sıkı bir ilişkide olduğunu gösterir35. Neticede Yunan düşüncesi ile modern düşüncenin fiziksel realiteyi modelleme konusundaki tavrına dikkat etmek gerekmektedir. Yunan düşüncesi 'organik-geometrik' bir model önerir iken modern dönem 'aritmetik-cebirsel' nokta kümelerinden oluşan bir uzaysal büyüklük tasarlar. Dediklerimizi başka türlü dile getirmek istersek: Euclides geometrisi biri felsefî, diğeri geometrik olan iki yön taşır. Felsefî olarak Yunan organik doğa tasavvuruna; geometrik olarak da büyük oranda Aristoteles'in sınırlarını çizdiği nicelik kategorosine, özellikle sürekli nicelik tanımına dayanır. Kısaca dendikte Euclides geometrisi organik-geometridir. İşte tam da bu açıdan 'süreklilik aksiyomu'na ihtiyaç duymaz; çünkü organiklik ile bilkuvve sonsuzca bölünebilirlik, yukarıda verilen örnekteki modern yaklaşımın derdi olan 'boşluğu' hiç bir zaman yaratmaz. Formalist sistemin dayandığı doğa idrâki nedir? Bu sorunun cevabı, aşağıda, modern matematiğin, özellikle Hilbert formalizminin mekanik bir dünya tasavvuruna dayandığı görüşü temellendirilerek cevaplandırılmaya çalışılacaktır. Poincaré, Peano'nun 'her türlü matematiksel ifadeyi sembollerle dile getirme zorunludur' anlayışından hareket eden formalistlerin tam manasıyla 'mekanik' bir sistem geliştirdiklerini söyler. Buna göre formalistler 'öyle bir geometrik yapı inşa edilsin ki bir kişi bu yapıların anlamlarını bilmeden onlardan çıkarım yapabilsin' anlayışını temel alırlar. Bu anlayış 'akıl yürütmeyi' tamamen mekanik kurallara indirger ve bu mekanik kuralları, anlamlarını bilmeden aksiyomlara uygular. Yani, kısaca, 'görmeksizin' geometrik bir yapı inşa etmenin yolu aranır36. Bu kuralları görmemek de 'sezgi' manasına gelir. Ancak Hilbert'in kendisi 'şekille temsile' karşı çıkmaz. Çünkü şekil 'sezgisel anlamayı' güçlendirir; bu da 'mantıkî bağ' kurmayı kolaylaştırır. Bundan dolayıdır ki tarih boyunca her türlü 'dedüksiyon'un 'bir şemayı' ya da 'bir şekli' içerdiği söylenebilir. Geometrinin şekli de daha çok optik (göze ilişkin) bir şemadır. Nitekim Hilbert de XVII. yüzyıldan beri Batı Avrupa matematiğinde varolan 'form' ile 'içerik' çatışmasında forma öncelik vererek bir nevi onun yorumunu yapmıştır37. Burada dikkat edilmesi gereken en önemli sorun, Poincaré'nin de gösterdiği gibi, mekanikleştirme (bilfiil sistemin düzenlenmesi anlamına gelir) ile yaratıcı matematik düşünmenin (bilkuvve olanın 'kaynaşması' anlamına gelir) arasındaki farkın ihmal edilmesidir. Başka bir deyişle matematik aklın ürettiği malzemenin (sonucun) düzenini ve aralarındaki bağları göstermek ile matematik aklın kendisi aynı şey değildir. Çünkü ancak mevcut olan bir şey/ya da şeyler mantıkî formülasyona göre düzenlenebilir. Bu da şunu gösterir: Matematiğin mekanikleştirilmesi, 'mevcut' matematiği verir; 'muhtemel' matematik hakkında bir şey söylemez/söyleyemez. Poincaré'nin eleştirisinden yola çıkan J. C. Webb Mechanism, Mentalism, and Metamathematics - An Essay on Finitism- adlı eserinde 'formalism' ile 'mekanizm' arasında sıkı bir ilişki olduğunu göstermiştir38. Esasen aritmetiğin temelinde yatan 'sayı' kavramı ile geometrinin temelinde bulunan 'mekan' kavramının formelleştirilmesi demek bizatihi insan zihninin formelleştirilmesi demektir. Bu açıdan Gödel'in Hilbert'in formalizmini eleştirisinin temelinde 'İnsanın makine gibi modellenemeyeceği' anlayışı yatar39. Neticede, daha önce de işaret edildiği üzere, Hilbert'in mekanik formal sistem teşebbüsünün yalnızca üretilmiş matematik dilindeki boşlukları doldurmaya yaradığı, yoksa bizatihi matematik düşüncenin boşluklarını dolduramadığı, bundan dolayı da Gödel'in 'tamamlanmamışlık' (incompleteness) fikrinin hep baki kalacağı söylenebilir. Çünkü en nihayetinde formal sistem sonsuzluğun 'sonlu bir resmi' olarak tasavvur edilmiştir. 'Sonsuzluk' ile onun her 'sonlu tasviri' arasındaki dialektik ilişki ise açıktır. Toparlarsak: Matematik 'bir düşünme tarzı' ise, en azından böyle görülürse iki yanlış baştan bertaraf edilmiş olur: Birincisi düşünmenin bizatihi kendisi değildir; tarzlarından birisidir. İkincisi ise aritmetik ve geometri gibi üretimleri (ürünleri) hakkında verilecek hükümler bizatihi onu bağlamaz. Kısaca matematik düşünce bizatihi düşünce hakkında son sözü söyleyemez. Başka bir deyişle 'düşünme' determinist bir mekanizmayla bitesiye açıklanamaz; çünkü akıl, bir yönüyle tarihî yani bir süreç olduğundan her zaman 'gizli değişkenleri' vardır. Hilbert'i bu sonuca götüren kaygılar nelerdi? Onun çıkış noktası, Kant'ın çok daha önce belirlediği 'sezgisel uzayımızın mantıkî analizi'dir40. Bu analiz çerçevesinde geometri'nin temelleri üzerindeki çalışmaları Hilbert'i 'süreklilik' hakkındaki bazı felsefî problemleri matematiksel açıklığa kavuşturabileceği fikrine götürdü. Böylece sürekliliğin varlığı hakkındaki ontolojik problemler geometrideki süreklilik aksiyomu vasıtasıyla çözülecek, en azından elenecekti41. Neticede XIX. yüzyıl matematiğinden başlayarak süreklilik aksiyomundan öteye giden, onu aşan başka bir geometrik aksiyom olamaz anlayışı pekişti. Öyleki Kronecker geometriyi saf matematikten ayırıp yalnızca sürekli büyüklükleri araştıran bir zeminde kurmaya kadar gitmişti42. Ne var ki Hilbert'in kendisi bile, dendiği üzere, formalist sistemi matematikteki bazı sorunları, özellikle de süreklilik sorununu çözmek için geliştirmişti. Ancak Haskell Curry gibi bazı öğrencileri aşırıya giderek matematiği 'formal sistemlerin bilimi' olarak tanımladılar. Onlara göre matematik ancak 'içeriği formel aksiyomatik sistemlerle' temellendirilebilirse anlamlı olabilir43. Fakat tam burada dikkat edilmesi gereken nokta, formalismin en nihayetinde matematik objelerden daha çok matematik yasalar üzerinde yoğunlaştığı gerçeğidir. Herşeye rağmen Poincaré'nin eleştirisinin üzerine gidilirse haklı olduğu söylenebilir. Nitekim Hilbert özellikle kendi dönemindeki mekanistik tabiat felsefelerinden özellikle Hertz'in elektromanyetik teorisi ile mekaniği üzerindeki eserlerinden etkilenmişti. Kısaca yaşadığı dönemde 'realitenin mekanik modellerle yorumlanması'nı esas alan positiv felsefe Hilbert üzerinde tesir icra etmişti44. Matematik yapıdan bağımsız bir realite olup olmadığı sorgulanan bir dönemde yaşayan Hilbert, 'olsa bile', - Poincaré'nin de dediği gibi- matematik modellere dökülmeyen fizik dünya hakkındaki söylemlerin positiv yöntemler açısından kabul edilemez olduğu ön-kabulune sahip bir 'paradigma' içerisinde yaşamaktaydı45. Sonuç Yerine Düşünce tarihiyle beraber yürür. Dolayısıyla 'şu an'da geçmiş döneme ait bir eser incelenirken o esere eşlik etmiş tarihî ortam dikkate alınmalıdır. Böyle bir dikkat o eserin örüldüğü kavram yumağını çarpıtmadan anlamayı sağlar. Bu açıdan, mesela, Euclides'in Elemanlar'ının dayandığı 'felsefî inançları', kısaca dendikte, 'değer dünyası'nı gözönünde bulundurmadan, salt teknik bir okumayla 'tasavvur dünyası'nı anlamaya çalışmak, ister istemez şimdiki dönemin kavramsal çerçevesine bağlı olacağından, muhtevayı çarpıtır. Örnek olarak, kısaca dendikte, Elemanlar'ın Platoncu felsefeye bir 'genel giriş' olarak hazırlandığı ve okutulduğu dikkate alınmadan yapılacak salt teknik bir okuma ister istemez bir çok 'felsefî' noktayı atlayacaktır. Bu açıdan bir kavramı açık ve seçik anlayabilmek için önce tarihî köklerine geri gitmek; daha sonra da o kavramın uzanımlarını yani yayılımını gövde ve dallarına hatta yapraklarına kadar izlemek gerekir. Öte yandan, Batı Avrupa felsefe-bilim yazıcılığı böyle bir tavrı çoğu zaman ihmal ettiğinden Batı Medeniyetleri Câmiası'ndaki felsefe-bilim kavramlarının 'sürekliliğini' izah etmede 'tarihî atlamalar'a sığınmaktadır. Nasıl ki Eskiçağ Ege Medeniyeti, Mısır ve Mesopotamya Medeniyetleri dikkate alınmadan, İslâm Medeniyeti de yayıldığı coğrafyadaki kendisinden önceki birikim gözönünde bulundurulmadan, 'yalnızca kendi içlerinde kalınarak', tam anlamıyla izah edilemez ise, aynı şekilde Yeniçağ Batı Avrupa Medeniyeti de kendisinden önceki birikim, ama özellikle Hristiyan Avrupa ile İslam Medeniyeti felsefe-bilim mirası dikkate alınmadan kendi içerisinde kalınarak açık ve seçik bir şekilde açıklanamaz. Böyle bir tavır, yukarıda yapılan benzetme takip edilirse, kök ile dal arasındaki unsurların tasfiye edilmesi anlamına gelir. Bu da Batı Medeniyetleri Câmiası'nın hem sürekliliğini hem de buna bağlı olan organikliğini sakatlar. Bu çerçevede Batı Avrupa'da XVI. yüzyılın ikinci yarısından itibaren şekillenmeye başlayan 'nicelik' tanımı ile 'süreklilik', 'süreksizlik' ve 'sonsuzluk' vb. kavramlardaki değişimi idrâk için İslâm Medeniyeti'ndeki gelişmelere dikkatli bir şekilde göz gezdirmek gerekir46. Bu çalışmanın ana konusu çerçevesinde kalınarak konuşulursa, İslâm Medeniyeti'nde tevârüs edilen Yunan ve Helenistik birikimin ne tür bir nicelik tanımını/tanımlarını içerdiği, bu içeriğin nasıl değerlendirildiği ve eleştirildiği; bütün bu içeriğin ve eleştirilerin muhtelif okulların sahip olduğu varlık, kosmoloji ve doğa anlayışlarıyla ne gibi bağlantıları olduğu gözönünde bulundurulmalıdır. Eş'arî atomcu varlık tasavvurun 'nicelik' anlayışına yansıması ve İslâm Dünyası'nda kurulan 'atomcu matematik' gelenekleri bu duruma güzel bir örnektir. Bu geleneğin irrasyonel sayıları ifade için bizatihi 'sayı'yı 'sonsuz' ve 'sürekli' bölmeye çalışması; bunun için ondalık konumlu sayı sistemine dayanan bir ondalık kesir sistemi geliştirmeye gayret etmesi üzerinde durulması gereken bir husustur. Öyle ki Eş'arîler, atomcu kabullerine uygun olarak 'doğru'yu da atomik tasarlamışlardır. Bu kabullerini 'doğa' tasavvurlarına uygulayan Eş'arîler, neticede Aristotelesçi megethos'a dayanan bir büyüklük olarak doğa tasavvurunu ortadan kaldırmış; bu da doğadaki süreklilik sorununu ortaya çıkarmıştır. Bu durum doğanın 'organik' karakterini zedelemiş, hatta mekanik bir doğa tasavvuruna doğru gitmeye başlamıştır. Eş'arîler tam bu noktada doğanın sürekliliği-organikliği için atomik-olana 'Tanrı'nın sürekli aktif iradesi' ile 'sürekli yeniden yaratma' kavramlarını katmıştır. Aristoteles'in 'holon'u yani fizik cisme bağlı olan sınırlı ve sonlu 'uzay'ı yalnızca matematik-geometrik idrâki değil vicdanî idrâki de rahatsız etmiş, sıkıştırmıştır. Bu çerçevede bir örnek olarak İbn Sinâ'nın, el-İşârât ve el-Tenbihât'daki evren tasavvurunu tamamen Aristotelesçi büyüklük tasavvuru üzerine kurmasına rağmen eserini "Makâmât el-Ârifin' gibi bir kısımla bitirmesi, böyle bir uzayı 'genişletmek', 'aşmak' içindir. Tasavvuf'un 'sonsuz' idrâki de böyle sınırlı-sonlu bir Evren'i aşmak kaygısı taşır. Öte yandan üç boyutlu uzay tasavvuruna dayanan doğa anlayışı ile matematik ilişkisi en açık ve seçik Ömer Hayyâm'ın üçüncü derece denklem analizlerinde görülür. Cebir ile geometriyi terkib etmeye çalışmasına rağmen Ömer Hayyâm, uzay tasavvuru üç boyutlu olduğundan üçüncü dereceden yüksek denklemlerin 'realiteyi' tasvir edemeyeceğini düşünür. Bu durum mekan kavramının fizikle ilişkisi ve bunun matematik idrâke nasıl yansıdığını gösteren güzel bir örnektir. Elbette, İslâm Dünyası'ndaki konuyla ilgili bütün çalışmaları enine-boyuna incelemek ayrı çalışmanın/çalışmaların konusudur. Ancak biz bu araştırmanın konusu çerçevesinde Batı Medeniyetleri Câmiası'nın sürekliliğini takip için önemli bulduğumuz bir noktaya dikkati çekmek istiyoruz: Batı Medeniyetleri Câmiası içerisinde İslâm Medeniyeti'nin Batı Avrupa'da gelişen konumuz çerçevesindeki yeni fikirlere olan katkısını, yalnızca XIII. yüzyıl öncesi Sâbit b. Kurre, İbn Sîna, İbn Heysem, Ömer Hayyâm, İbn Rüşd, Nasiruddin Tûsî gibi isimlerle sınırlandırmak işaret etmeye çalıştığımız sürekliliği göstermekte yetersiz kalır. Bu çerçevede özellikle iki kanal üzerinde yeniden durmak gerekmektedir: Bu kanallardan birincisi Batı İslâm Dünyası'dır. Özellikle İbn el-Bennâ okulunun algoritma, matematiksel notasyon ve sembol ile matematik-doğa ilişkisi konularında yaptıkları çalışmalar ve irrasyonel sayıların yaklaşık karekök hesabındaki sonsuzluk fikri konusunda geliştirdikleri sürekli kesir anlayışı, başta İbn el-Bennâ'nin kendisi olmak üzere İbn Haydur, İbn Kunfuz gibi öğrencileri tarafından geliştirilmiş ve eserlerinin bir çoğu Latince'ye tercüme edilen el-Kalasâdî'yle (öl.891/1486) doruk noktasına ulaştırılmıştır47. İkinci kanal ise İstanbul'dur. Özellikle Ali Kuşçu, Fenârî-zâde Ali Çelebi, Mirim Çelebi, Kehhâl Musa, Takiyüddin Râsıd gibi matematikçi isimlerin sayı, nokta, doğru, açı, paralellik aksiyomu, süreklilik ve sonsuzluk gibi konulardaki çalışmaları; Takiyüddin'in ondalık kesirleri uygulama alanına sokması üzerinde durulması gereken hususlardır. Bu çerçevede İstanbul ile Avrupa arasındaki karşılıklı ilmî alışveriş sanıldığından daha sıkı yürümüştür. Örnek olarak Galilei'nin öğrencisi Joseph Delmedigo'nun (öl. 1655) XVII. yüzyıl başlarında Kâhire'ye gidip Ali b. Ramazân adlı bir bilginle küresel açılar hususunda tartışması; akabinde İstanbul'a gelip burada Kabbala dersleri alması, diğer tarihî vesikalarla birleştirildiğinde bahsi geçen alışverişin yeniden değerlendirilmesini zorunlu kılmaktadır48. * Dr., İstanbul Üniversitesi Edebiyat Fakültesi Felsefe Bölümü 1 Öyleki bazı matematik felsefecileri bu çalışmaların vardığı 'çıkmaz'ı aşabilmek için 'temelleri olmayan' bir matematik arayışına bile girdiler. Bkz. Hilary Putnam, "Mathematics without Foundations", Journal of Philosophy, 64/1 (19 Jan. 1967), s. 5-22. 2 Bu tartışmaların seyri için bkz. E. W. Beth, The Foundations of Mathematics, Amsterdam 1959; özellikle V. bölüm, s. 351-477. Son dönem tartışmalar için bkz. Thomas Tymoczko (edit.), New Directions in the Philosophy of Mathematics, Boston 1985; M. D. Resnik, Mathematics as a Science of Patterns, Oxford 1997; özellikle I. bölüm, s. 10-95; M. Schirn (edit.), The Philosophy of Mathematics Today, Oxford 1998. 3 Öyle ki Lewiss Carroll adlı yazar Euclides ve Modern Rakipleri adlı bir 'tiyatro' kaleme almış; Euclides ile rakiplerini teknik geometriyi içeren bir uslupla tartıştırmıştır. Bkz. Lewis Caroll, Euclid and His Modern Rivals, New York 1973 (London 1885'deki ikinci edisyonun yeniden basımı). 4 Euclides ile Elemanlar'ı hakkında derli toplu bilgi için bkz. T. Heath, A History of Greek Mathematics, c. I: From Thales to Euclid, New York 1981, s. 354-446. 5 Bazı matematikçiler daha da ileri giderek Euclides'in eserinin abartıldığını dahi ileri sürdüler; örnek olarak bkz. Felix Klein, Elementary Mathematics From An Advanced Standpoint -Geometry-, New York 1939, s. 188-208. 6 XIX. yüzyılın sonu ile XX. yüzyılın başlarında 'geçmişteki yanlışları düzeltmek için' pek çok 'aksiyomatik sistem' önerisi yapılmıştır. Pasch (1882), Peano (1889), Hilbert (1899), Pieri (1899), Veblen (1904) ve Birkhoff - Beatley (1940) sistemleri bu önerilerin başında gelir. 7 Örnek olarak bkz. E. B. Golos, Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York 1968, s. 53-67. 8 R. L. Faber, Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York 1983, s. 108-123. 9 D. Hilbert, Grundlagen Der Geometrie, Leipzig 1930, s. 2-33. (İlk baskısı 1899). İlgili yerlerin tercümesini esirgemeyen Akın Etan Bey'e teşekkür ederim. 10 Hilbert, a.g.e., s. 30-33. 11 Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, İngilizce'ye çeviri: W. W. Beman, Chicago 1924, s. 11. Archimedes ve Cantor aksiyomlarından hareket ederek Dedekind süreklilik aksiyomunu; Dedekind aksiyomunu kullanarak da Archimedes ve Cantor aksiyomunu elde etmek mümkündür. Ancak bunun için geometrinin aksiyomlarının tam bir listesinin elde bulunması gerekir. Ayrıca 'süreklilik aksiyomu' hakkında yapılan çalışmaların geometrik analizi için bkz. Izu Vaisman, Foundations of Three-Dimensional Euclidean Geometry, New York 1980, s. 150-166. 12 Örnek olarak bkz. H. Eves ve C. V. Newsom, An Introduction to the Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, İkinci baskı, New York 1965, s. 42-44 ve G. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, New York 1975, s. 124-125. 13 Postulat III: Herhangi bir merkez ve yarıçapla bir daire çizmek mümkündür. 14 Postulat I: Herhangi bir noktadan herhangi bir noktaya bir doğru çizmek mümkündür. 15 Tanım XV: Daire, içerisindeki noktaların belirli birinden üzerine indirilen doğruların eşit olduğu (çenber denilen) bir eğriyle çevrili düzlemsel bir şekildir. 16 Aksiyom I: Aynı şeye eşit olan iki şey birbirine eşittir. 17 Tanım XX: Üçkenarlı şekillerden eşkenar üçgenin üç kenarı eşittir,? 18 Bu çalışmaların belli başlıları şöyle sıralanabilir: Felix Klein, Elementary Mathematics From An Advanced Standpoint -Geometry-, New York 1939 (F. Kein'in görüşlerinin analizi için ayrıca bkz. L. Rédei, Foundation of Euclidean and Non-Euclidean Geometries Accordıng to F. Klein, Budapest 1968); H. G. Forder, The Foundations of Euclidean Geometry, Cambridge 1927; G. de B. Robinson, The Foundations of Geometry, Toronto 1940; K. Borsuk - W. Szmielew, Foundations of Geometry, -Euclidean and Bolyai-Lobachevskian Geometry, Projective Geometry-, Lehçe'den İngilizce'ye tercüme eden: Erwin Marquit, Amsterdam 1960; E. B. Golos, Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York 1968; Izu Vaisman, Foundations of Three-Dimensional Euclidean Geometry, New York 1980; R. L. Faber, Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York 1983. 19 I. Muller, Philosophy of Mathematics and Deductice Structure in Euclid's Elements, London 1981. 20 Hilbert, a.g.e., s. 2. 21 C. Parsons, "Finitism and Intuitive Knowledge", The Philosophy of Mathematics Today (edit. M. Schirn) içerisinde, Oxford 1998, s. 249-270. 22 Günümüzde aksiyom ile postulat arasında bir fark gözetilmemektedir. Esasen aksiyom "biçimsel mantık'a bağlı olarak iş gören 'bütün' bilme edimlerinin dayandığı ortak tümel kurallar", postulat ise "biçimsel mantık'a bağlı iş gören 'özel' bir bilgi ediminin dayandığı ortak kurallar" şeklinde tanımlanabilir. 23 Mueller, a.g.e., s. 1-17. Euclides'in 'ispat' anlayışının yapısı ile Aristoteles'le olan ilişkisi için bkz. R. D. McKirahan, Principles and Proofs -Aristotle's Theory of Demonstrative Science-, New Jersey 1992. Özellikle "Aristotle's Principles and Greek Mathematics" adlı XI. bölüm (s. 133-143) ile "Aristotle's Demonstrations and Euclid's Elements" başlıklı XII. bölüme (144-163) bkz. 24 'Nicelik' tasavvurunun fizik bilimiyle olan 'organik' ilişkişi için bkz. Edmund Whittaker, From Euclid to Eddington -A Study of Conceptions of the External World-, New York 1958. 25 Metaphysics 1020a8-11; 1016b-24-25. 26 Aristoteles, Organon, Categoria (terc. E. M. Edghill), The Basic Works of Aristotle (edit. R. McKeon) içerisinde, New York 2001, 6. bölüm; Metaphysics (terc. W. D. Ross), The Basic Works of Aristotle içerisinde, V.kitap 13. bölüm; ayrıca bkz. İhsan Fazlıoğlu, Aristoteles'te Nicelik Sorunu, İstanbul Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü yayınlanmamış doktora tezi, İstanbul 1998, "III. Bölüm/A. Aristoteles'te Temel Nicelik Kavramları". 27 Yunan matematiğindeki 'arithmos' kavramı ve 'aritmetik' anlayışı için bkz. J. Klein, Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra (İngilizce'ye tercüme: Eva Brann), New York 1992. 28 Bu konuda Yeni Çağ matematikçilerinin yerini tayin için bkz. Paolo Mancosu, Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century, Oxford 1996. Özellikle bkz. "The Problem of Continuity" başlıklı dördüncü bölüm (s. 92-117) ile "Paradoxes of the Infinite" (s. 118-149) isimli beşinci bölüm. 29 J. W. Dauben, Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Cambridge 1979, s. 77-94. 30 Dedekind, a.g.e. s. 1. 31 G. Cantor, Contrubitions of the Founding of the Theory of Transfinite Numbers, İngilizce'ye çeviri: P. E. B. Jourdin, New York trsz. s. 11, 85. 32 Konuyu, Cantor'un kümeler teorisini çıkış noktası alarak tarihî perspektif içerisinde enine boyuna inceleyen bir çalışma için bkz. M. Tiles, The Philosophy of Set Theory -An Introduction to Cantor's Paradise-, New York 1989. Özellikle bkz. "Numbering the Continuum" adlı dördüncü bölüm, s. 68-94. 33 Aristoteles, Physics (tercüme: R. P. Hardie - R. K. Gaye), The Basic Works of Aristotle (edit. R. McKeon) içerisinde, 6. kitap, 1. bölüm. 34 F. E. Peters, Greek Philosophical Terms -A Historical Lexicon-, New York - London, 1967, s. 84-87 35 Yunan fizik dünyasının matematikle olan ilişkisi için bkz. S. Sambursky, The Physical World of The Greeks, İbranice'den İngilizce'ye tercüme eden: M. Dagut, London 1960; aynı yazar, Physics of the Stoics, New Jersey 1987. 36 Poincaré'nin eleştirileri için bkz. "The Foundations of Geometry" (Hilbert'in eserinin Foundations of Geometry adıyla E. J. Towsend tarafından Chicago 1902'de yapılan İngilizce tercümesinin kritiği), Bulletin of the American Mathematical Society, c. XII (1903), s. 1-10. Ayrıca başta Poincaré'ninkiler olmak üzere diğer eleştiriler için bkz. M. Steiner, Mathematical Knowledge, London 1975; özellikle "Logic and Mathematical Knowledge" başlıklı birinci bölüm (s. 23-70) ile "Mathematical Induction and Mathematical Knowledge: Poincaré's Critique of Formalism" adlı kısım (s.139-154). 37 'Form' ile 'içerik' tartışmasının matematik tarihindeki seyri için bkz. E. T. Bell, The Development of Mathematics, New York 1945. 38 J. C. Webb Mechanism, Mentalism, and Metamathematics - An Essay on Finitism-, Dordrecht 1980. 39 J. R. Lucas, "Metamathematics and the Philosophy of Mind: A Rejoinder", Philosophy of Science, c. XXXVIII (1971), s. 310-313. 40 Kant'ın mekan analizi için bkz. Critique of Pure Reason, İngilizce'ye tercüme: P. Guyer ve A. W. Wood, Cambridge 1998, s. 157-162. 41 K-G. Niebergall ve M. Schirn, "Hilbert's Finitism and the Notion of Infinitiy", The Philosophy of Mathemtics Today (edit. M. Schirn) içerisinde, Oxford 1998, s. 270-305. 42 Webb, a.g.e., s. 77-78 43 Haskell B. Curry, Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics, Amsterdam 1951. Özellikle bk. X. Bölüm, s. 56-58. 44 Klasik fiziğin kavramları ile matematik arasındaki ilişki için bkz. E. H. Hutten, The Language of Modern Physics, London 1956. Özellikle bkz. "The Concept of Classical Physics" adlı üçüncü bölüm, s. 73-128. Klasik fiziğin kavramlarıyla karşılaştırmalı olarak modern fiziğin kavramları ile matematik ilişkisi için bkz. V. Edward Smith, Philosophical Physics, New York 1950. Özellikle "Mathematics and the Infinite" (IX. bölüm), "Place: The Measure of Motion" (X. bölüm), "Time: The Measure of Motion" (XI. bölüm) ile "Motion and Quantity" (XII. Bölüm). 45 Hilbert'in fikirlerini bir çok matematikçi-filozof eleştiriye tabi tuttu; ve hala da eleştirmeye devam etmektedir. Önemli bir isim olarak Frege'nin eleştirileri için bkz. M. D. Resnik, Frege and the Philosophy of Mathematics, New York 1980. Özellikle "Deductivism" başlıklı üçüncü bölümün "The Frege-Hilbert Controversy" kısmı incelenebilir, s. 106-119. 46 Örnek olarak Hristiyan Avrupa Dünyası'ndaki tartışmalar için bkz. N. Kretzmann (edit.) , Infinity and Continuiıty in Ancient and Medieval Thought, Ithaca 1982. Ayrıca konunun tarihî süreç içerisindeki gelişiminin genel bir dökümü için bkz. A. W. Moore, The Infinite, London 2001. Ayrıca bkz. E. Grand, The Foundations of Modern Science in the Middle Ages -Their Religious, Instituonal, and Intelectual Contexs-, Cambridge 1996; J. A. Weisheipl, Nature and Motion in the Middle Ages (edit. W. E. Carroll), Washington 1985. 47 Bu isimlerden bazılarının eserlerinin Latince'ye tercümesi yanında Arapça asıllarının Vatikan Kütüpnesinde bulunması üzerinde durulması gereken bir durumdur. 48 İhsan Fazlıoğlu, "İlk Dönem Osmanlı ile Batı Avrupa Bilim İlişkileri: Matematik, Astronomi, Optik, Coğrafya ve Tıp Sahalarından Bazı Örnekler", yayınlanacak makale. |
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder